Question

【題目】已知函數 ．

（1）若曲線在處切線的斜率為，求此切線方程；

（2）若有兩個極值點，求的取值范圍，并證明：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）,證明見解析.

【解析】分析：（1）由函數的解析式可得，利用可得， 則切點為，切線方程為．

（2）結合(1)中導函數的解析令，得．構造函數，令，則，利用導函數研究函數的單調性可知在遞增，在遞減，所以． 結合題意可得的取值范圍是． 由極值點的性質可得不妨設，則，，結合的單調性可得，據此有，即．

詳解：（1）∵，∴，解得，

∴，故切點為，

所以曲線在處的切線方程為．

（2），令，得．

令，則，

且當時，；當時，；時，．

令，得，

且當時，；當時，．

故在遞增，在遞減，所以．

所以當時，有一個極值點；

時，有兩個極值點；

當時，沒有極值點．

綜上，的取值范圍是．

因為是的兩個極值點，所以即…①

不妨設，則，，

因為在遞減，且，所以，即…②．

由①可得，即，

由①，②得，所以．