Question

【題目】已知橢圓的離心率，其左、右頂點(diǎn)分別為點(diǎn)，且點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)在直線上.

（1）求橢圓的方程；

（2）若點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在圓上，且都在第一象限，軸，若直線與軸的交點(diǎn)分別為，判斷是否為定值，若是定值，求出該定值；若不是定值，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）1.

【解析】

（1）點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)在直線上，代入可求出，又，可解出，然后得出橢圓方程；（2）設(shè)，，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與橢圓方程，由韋達(dá)定理求出坐標(biāo)，從而得到的方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，求出化簡(jiǎn)得，所以，為定值.

解：（1）點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)在直線上，

∴，解得.

又，解得.

∴橢圓E的方程為：.

（2）設(shè)，，

令，解得，∴.

聯(lián)立，化簡(jiǎn)得：.

∴，解得.

∴，即.

∴直線的斜率=.

∴的方程：，令，解得，∴.

設(shè)，則，.

∴.

∵，

∴，∴，即.

∴為定值.