Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形為正方形，平面，，，．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求與平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）在棱上是否存在一點，使得平面平面？如果存在，求的值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）．

【解析】

試題（Ⅰ）設中點為，連結，易證得四邊形為平行四邊形，從而結合正方形的性質得到四邊形為平行四邊形，進而使問題得證；（Ⅱ）以點的原點建立空間坐標系，得到相關點坐標及向量，求出平面的一個法向量，從而由空間夾角公式求解；（Ⅲ）由平面平面，得到兩平面的法向量乘積為0，從面求得點的坐標，進而求得的值．

試題解析：（Ⅰ）設中點為，連結，

因為，且，

所以且，

所以四邊形為平行四邊形，

所以，且．

因為正方形，所以，

所以，且，

所以四邊形為平行四邊形，

所以．

因為平面，平面，

所以平面．

（Ⅱ）如圖建立空間坐標系，則，，，，，

所以，，．

設平面的一個法向量為，所以．

令，則，所以．

設與平面所成角為，

則．

所以與平面所成角的正弦值是．

（Ⅲ）依題意，可設，則，．

設平面的一個法向量為，則．

令，則，所以．

因為平面平面，

所以，即，

所以， 點，

所以．