Question

（08年黃岡中學(xué)三模文）（本小題滿分13分）設(shè)的極小值為,其導(dǎo)函數(shù)的圖像是經(jīng)過點(diǎn)開口向上的拋物線,如圖所示．

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）若，且過點(diǎn)（1，m）可作曲線的三條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

解析：（Ⅰ），且的圖像經(jīng)過點(diǎn),

∴，            ∴，……（3分）

由導(dǎo)函數(shù)圖像可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

在上單調(diào)遞增， 

∴，解得 . ∴.        ……（6分）

（Ⅱ）設(shè)切點(diǎn)為（x₀, y₀），由題設(shè)知x₀≠1，則切線斜率可表示為和，所以，又，即，

∴，

要有三條切線，則上述關(guān)于x₀的方程應(yīng)有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根. ……（9分）

令，則要與x軸有三個(gè)交點(diǎn)（且交點(diǎn)坐標(biāo)），

即的極大值與極小值的乘積小于零，由得 或

且當(dāng)和時(shí)；當(dāng)時(shí)，，

∴在x₀=0, x₀=1處分別取得極大值+3和極小值+2.

由，（此時(shí)顯然有x₀=1不可能是方程的根）

故m的取值范圍是（-3，-2）.               ……（13分）