Question

如圖，已知點(diǎn)D（0，－2），過點(diǎn)D作拋物線：的切線l,切點(diǎn)A在第二象限。

（1）求切點(diǎn)A的縱坐標(biāo)；
（2）若離心率為的橢圓恰好經(jīng)過A點(diǎn)，設(shè)切線l交橢圓的另一點(diǎn)為B，若設(shè)切線l,直線OA，OB的斜率為k,,①試用斜率k表示②當(dāng)取得最大值時(shí)求此時(shí)橢圓的方程。

Answer 1

（1）2，（2）①，②

試題分析：（1）設(shè)切點(diǎn)A，則，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得在切點(diǎn)A的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率，即，而，所以（2）①要求函數(shù)關(guān)系式，一要確定自變量k的取值范圍，這可由切線l斜率及得到.二是建立與k的等量關(guān)系，這是一個(gè)復(fù)雜消參的過程.先設(shè)，則.在使用韋達(dá)定理之前先要做一個(gè)工作，就是將橢圓方程用k表示.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041457537642.png" style="vertical-align:middle;" />，代入橢圓方程得，而，所以，，因此橢圓方程為，到此再利用韋達(dá)定理可解得，② 利用函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，得當(dāng)k= 1時(shí)，取到最大值，此時(shí)P＝4，故橢圓的方程為.
試題解析：解：（1）設(shè)切點(diǎn)A，依題意則有
解得，即A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2                        3分
（2）依題意可設(shè)橢圓的方程為，直線AB方程為：；由得①
由（1）可得A，將A代入①可得，
故橢圓的方程可簡(jiǎn)化為；           5分
聯(lián)立直線AB與橢圓的方程：消去Y得：，則            8分
又∵,∴k∈［－2，－1］；即……9分
②由可知上為單調(diào)遞增函數(shù)，故當(dāng)k= 1時(shí)，取到最大值，此時(shí)P＝4，故橢圓的方程為…12分