Question

橢圓＝1(a>b>0)的右焦點F，其右準線與x軸的交點為A，在橢圓上存在點P滿足線段AP的垂直平分線過點F，則橢圓離心率的取值范圍是________．

Answer 1

≤e<1.

解法1)由題意，橢圓上存在點P，使得線段AP的垂直平分線過點F，所以|PF|＝|FA|，而|FA|＝－c，|PF|≤a＋c，所以－c≤a＋c，即a²≤ac＋2c².又e＝，所以2e²＋e≥1，所以2e²＋e－1≥0，即(2e－1)(e＋1)≥0.又0<e<1，所以≤e<1.
(解法2)設點P(x，y)．由題意，橢圓上存在點P，使得線段AP的垂直平分線過點F，所以|PF|＝|FA|，由橢圓第二定義，＝e，所以|PF|＝e－ex＝a－ex，而|FA|＝－c，所以a－ex＝－c，解得x＝(a＋c－)．由于－a≤x≤a，
所以－a≤(a＋c－)≤a.又e＝，所以2e²＋e－1≥0，即(2e－1)(e＋1)≥0.
又0<e<1，所以≤e<1.