Question

已知橢圓C₁的中心在坐標原點,兩個焦點分別為F₁(-2,0),F₂(2,0),點A(2,3)在橢圓C₁上,過點A的直線L與拋物線C₂:x²=4y交于B,C兩點,拋物線C₂在點B,C處的切線分別為l₁,l₂,且l₁與l₂交于點P.
(1)求橢圓C₁的方程;
(2)是否存在滿足|PF₁|+|PF₂|=|AF₁|+|AF₂|的點P?若存在,指出這樣的點P有幾個(不必求出點P的坐標);若不存在,說明理由.

Answer 1

（1）+=1  （2）存在，有2個

解:(1)設橢圓方程為+=1(a>b>0),
由題意可知2a=+=8.
∴a=4,b²=a²-c²=12.
∴橢圓方程為+=1.
(2)設B（x₁,）,C（x₂,）,
直線BC的斜率為k,則k=.
由y=x²,得y′=x.
∴點B、C處的切線l₁、l₂的斜率分別為x₁,x₂,
∴l₁的方程為y-=x₁(x-x₁),
即y=x₁x-,
同理,l₂的方程為y=x₂x-.
由
解得
∴P(2k,2k-3).
∵|PF₁|+|PF₂|=|AF₁|+|AF₂|,
∴點P在橢圓C₁:+=1上,
∴+=1.
化簡得7k²-12k-3=0.(*)
由Δ=12²-4×7×(-3)=228>0,
可得方程(*)有兩個不等的實數根.
∴滿足條件的點P有兩個.