Question

已知下列命題，寫出所有正確的命題的題號：

 

．：
①函數y=tanx在第一象限是增函數；
②函數y=cos²（

π

4

-x）是偶函數；  
③函數y=4sin（2x-

π

3

）的一個對稱中心是（

π

6

，0）；
④函數y=sin（x+

π

4

）在閉區間[-

π

2

，

π

2

]上是增函數．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：三角函數的圖像與性質,簡易邏輯

分析：直接舉反例說明命題①④錯誤；化簡函數y=cos²（

π

4

-x），然后代值驗證說明②錯誤；由x=

π

6

時y=4sin（2x-

π

3

）=0說明命題③正確．

解答： 解：對于①，取x1=

π

3

，x2=

9π

4

，

π

3

＜

9π

4

，但tan

π

3

＞tan

9π

4

．
∴函數y=tanx在第一象限不是增函數．
命題①錯誤；
對于②，∵函數y=cos²（

π

4

-x）=

1+cos( π 2 -2x)

2

=

1

2

(sin2x+1)．
當x=

π

4

時，y=1．當x=-

π

4

時，y=0．
∴函數y=cos²（

π

4

-x）是非奇非偶函數．
命題②錯誤；
對于③，當x=

π

6

時，y=4sin（2x-

π

3

）=0．
∴函數y=4sin（2x-

π

3

）的一個對稱中心是（

π

6

，0）．
命題③正確；
對于④，x=

π

4

時，y=1．x=

π

2

時，y=

2

2

．
∴函數y=sin（x+

π

4

）在閉區間[-

π

2

，

π

2

]上是增函數錯誤．
故正確命題的題號是③．
故答案為：③

點評：本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了三角函數的圖象與性質，屬中檔題．