Question

（2014•江門模擬）如圖，橢圓Γ的中心在坐標原點O，過右焦點F（1，0）且垂直于橢圓對稱軸的弦MN的長為3．
（1）求橢圓Γ的方程；
（2）直線l經過點O交橢圓Γ于P、Q兩點，NP=NQ，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）設橢圓Γ的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），利用過右焦點F（1，0）且垂直于橢圓對稱軸的弦MN的長為3．可得

c=1 2b2 a =3 a2=b2+c2

解得a，b，c即可；
（2）連接ON，由橢圓的對稱性OP=OQ，又NP=NQ，利用等腰三角形的性質可得ON⊥PQ，計算出點N的坐標，可得k_ON，再利用k_l•k_ON=-1即可得出k_l．

解答：解：（1）設橢圓Γ的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵過右焦點F（1，0）且垂直于橢圓對稱軸的弦MN的長為3．
∴

c=1 2b2 a =3 a2=b2+c2

解得a=2，b=

3

，c=1．
∴橢圓Γ的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）連接ON，由橢圓的對稱性OP=OQ，
∵NP=NQ，∴ON⊥PQ，
∵

b2

a

=

3

2

，∴N(1，-

3

2

)，
∴kON=-

3

2

，kl=-

1

kON

=

2

3

，
∴直線l的方程為y=

2

3

x．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、等腰三角形的性質、相互垂直的直線的斜率之間的關系等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．