Question

【題目】已知橢圓C過點M（1，），兩個焦點為A（﹣1，0），B（1，0），O為坐標原點．

（1）求橢圓C的方程；

（2）直線l過點A（﹣1，0），且與橢圓C交于P，Q兩點，求△BPQ面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）3.

【解析】

（1）由已知中焦點坐標，可得c值，進而根據橢圓過M點，代入求出a，b可得橢圓的標準方程；

（2）聯立直線與橢圓的方程，利用韋達定理及基本不等式，求出三角形面積的最大值．

（1）∵橢圓C的兩個焦點為A（﹣1，0），B（1，0），

故c＝1，且橢圓的坐標在x軸上

設橢圓C的方程為：

∵橢圓C過點M（1，），

∴

解得b2＝3，或b2

∴橢圓C的方程為：

（2）設直線l的方程為：x＝ky﹣1，P（x1，y1），Q（x2，y2），則

由得：（4+3k2）y2﹣6ky﹣9＝0

則y1+y2，y1y2

∴S2c|y1﹣y2|

令t，（t≥1）

則S，

∵y在[1，+∞）上單調遞增，故當t＝1時，y取最小值，此時S取最大值3，

當t=1時取等號，即當k=0時，△BPQ的面積最大值為3.