Question

【題目】在如圖的多面體中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中點．

（Ⅰ）求證：AB∥平面DEG；

（Ⅱ）求證：BD⊥EG；

（Ⅲ）求多面體ADBEG的體積．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）4

【解析】

（Ⅰ） 先證明四邊形ADGB是平行四邊形，可得AB∥DG，從而證明AB∥平面DEG．

（Ⅱ） 過D作DH∥AE交EF于H，則DH⊥平面BCFE，DH⊥EG，再證BH⊥EG，從而可證EG⊥平面BHD，故BD⊥EG．

（Ⅲ）要求多面體ADBEG的體積，利用分割的思想轉化為VADBEG＝VD﹣AEB+VD﹣BEG轉化為求兩個三棱錐的體積即可．

（Ⅰ）∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC．

又∵BC＝2AD，G是BC的中點，∴，∴四邊形ADGB是平行四邊形，∴AB∥DG，∵AB平面DEG，DG平面DEG，∴AB∥平面DEG．

（Ⅱ）∵EF⊥平面AEB，AE平面AEB，∴EF⊥AE，

又AE⊥EB，EB∩EF＝E，EB，EF平面BCFE，∴AE⊥平面BCFE．

過D作DH∥AE交EF于H，連接，則DH⊥平面BCFE．

∵EG平面BCFE，∴DH⊥EG．

∵AD∥EH，DH∥AE，∴四邊形AEHD平行四邊形，∴EH＝AD＝2，

∴EH＝BG＝2，又EH∥BG，EH⊥BE，

∴四邊形BGHE為正方形，∴BH⊥EG，

又BH∩DH＝H，BH平面BHD，DH平面BHD，∴EG⊥平面BHD．

∵BD平面BHD，∴BD⊥EG．

（Ⅲ）∵EF⊥平面AEB，AD∥EF，∴AD⊥平面AEB，

由（2）知四邊形BGHE為正方形，∴BE⊥BC．

∴VADBEG＝VD﹣AEB+VD﹣BEG4.