Question

【題目】如圖，四棱錐的側棱與四棱錐的側棱都與底面垂直，，，，，，.

（1）證明：平面；

（2）在棱上是否存在點M，使平面與平面所成角的正弦值為？如果存在，指出M點的位置；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，M點與F點重合

【解析】

（1）根據垂直于同一個平面的兩條直線平行，可得，再根據勾股定理分別求出，即可證得四邊形為平行四邊形，然后根據線面平行的判定定理即可證出；

（2）以點為原點，建立空間直角坐標系，設，得到點的坐標，再分別求出平面的法向量和平面的法向量，根據二面角的向量計算公式，即可建立方程，解出，即可確定M點的位置．

（1）∵，∴

∵，，∴，同理可得

又，，∴

∵，∴四邊形為平行四邊形，則，而平面，平面∴平面.

（2）以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，如圖所示：

則，，，，

則，

令（），則

設平面的法向量，則

即，得

又平面的法向量，

設平面與平面的夾角為，則，

∴，則

即：M點與F點重合時滿足題意.