Question

【題目】已知數列的奇數項是首項為1的等差數列，偶數項是首項為2的等比數列.數列前項和為，且滿足

（1）求數列的通項公式；

（2）求數列前項和；

（3）在數列中，是否存在連續的三項，按原來的順序成等差數列？若存在，求出所有滿足條件的正整數的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）;（2）;（3）在數列中，僅存在連續的三項，按原來的順序成等差數列，此時正整數的值為1.

【解析】

試題（1）顯然要分奇偶求解，用等差數列的通項公式和等比數列的通項公式即可求解；（2）同（1）要按奇偶分別求和，即求的也就是分奇偶后的前n項和；（3）先假設存在這樣的連續三項按原來的順序成等差數列，即假設 ，則，然后代入通項公式得，顯然不成立；再假設，則，然后代入通項公式得，解此方程要構造新的方程，即令， ，故，只有 ，則僅存在連續的三項合題意.

試題解析：（1）設等差數列的公差為，等比數列的公比為，

則,

,

又，，解得,

∴對于，有,

故.

（2）.

（3）在數列中，僅存在連續的三項，按原來的順序成等差數列，此時正整數的值為1，下面說明理由.

若，則由，得,

化簡得，此式左邊為偶數，右邊為奇數，不可能成立.

若，則由，得,

化簡得.

令，則.

因此，，故只有，此時.

綜上，在數列中，僅存在連續的三項，按原來的順序成等差數列，此時正整數的值為1