Question

【題目】已知橢圓的左焦點為，設，是橢圓的兩個短軸端點，是橢圓的長軸左端點．

（1）當時，設點，，直線交橢圓于，且直線、的斜率分別為，，求的值；

（2）當時，若經過的直線與橢圓交于，兩點，為坐標原點，求與的面積之差的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）設直線方程為，聯立方程組，利用韋達定理可得點的坐標，從而求得直線的斜率，即可證得；

（2）設的面積為，的面積為，設直線的方程為，，，，，聯立方程組，消去得關于的一元二次方程，再將面積表示成關于的函數，從而求得的最大值．

（1）當時，橢圓的

，是橢圓的兩個短軸端點分別為、，

設直線方程為．

由得．

，，

，

；

（2）設的面積為，的面積為，

設直線的方程為，，，，

由，整理得：，

由韋達定理可知：，

，

當時，，

當時，

（當且僅當，即時等號成立）．

的最大值為．