Question

【題目】已知橢圓，圓，直線與橢圓交于，兩點，與圓相切與點，且為線段的中點，若這樣的直線有4條，則的取值范圍為______.

Answer 1

【答案】

【解析】

分直線斜率存在和不存在兩種情況各兩條，根據中點弦和切線關系解出中點坐標，再根據點在橢圓內部即可解得的取值范圍.

根據橢圓和圓的對稱性，要使這樣的直線有4條，必斜率不存在的直線兩條，且斜率存在的直線兩條，

（i）當直線斜率不存在時，要有兩條符合題意：

（ii）當直線斜率存在時也有兩條直線滿足條件才符合題意，當時，兩條直線符合題意，

當時，先證明中點弦公式：直線與橢圓交于，兩點，且為線段的中點，則

設在橢圓上，

為線段的中點，

，兩式相減：

當直線斜率存在時，設點，在圓上

根據中點弦公式，

根據直線與圓相切

點，在圓上

解得：，這樣的點兩個，關于x軸對稱，

點在橢圓內部：即

解得，

綜上所述：

故答案為：