Question

已知a∈R，函數(shù)f（x）=4x³-2ax+a．
（1）a=1時(shí)，求函數(shù)的極值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）a=1時(shí)，f（x）=4x³-2x+1，得f′（x）=2（6x²-1），從而f（x）在（-∞，-

6

6

），（

6

6

，+∞）遞增，在（-

6

6

，

6

6

）遞減，進(jìn)而求出f（x）_極大值，f（x）_極小值．
（2）求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=12x²-2a，討論a≤0時(shí)，a＞0時(shí)的情況，從而求出單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）a=1時(shí)，f（x）=4x³-2x+1，
∴f′（x）=2（6x²-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞

6

6

，x＜-

6

6

，
令f′（x）＜0，解得：-

6

6

＜x＜

6

6

，
∴f（x）在（-∞，-

6

6

），（

6

6

，+∞）遞增，在（-

6

6

，

6

6

）遞減，
∴f（x）_極大值=f（-

6

6

）=1+

2 6

9

，f（x）_極小值=f（

6

6

）=1-

2 6

9

；
（2）求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=12x²-2a，
a≤0時(shí)，f′（x）≥0恒成立，此時(shí)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞）
a＞0時(shí)，f′（x）=12x²-2a=12（x-

a 6

）（x+

a 6

）
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-

a 6

），（

a 6

，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（-

a 6

，

a 6

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值問題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．