Question

【題目】已知函數f（x）=x2+alnx．

（1）若a=﹣1，求函數f（x）的極值，并指出極大值還是極小值；

（2）若a=1，求函數f（x）在[1，e]上的最值；

（3）若a=1，求證：在區間[1，+∞）上，函數f（x）的圖象在g（x）=x3的圖象下方．

Answer 1

【答案】（1）極小值f（1）=；（2）e2+1；（3）證明見解析

【解析】

試題分析：（1）代入a=﹣1，從而化簡f（x）并求其定義域，再求導判斷函數的單調性及極值即可；

（2）代入a=1，從而化簡f（x）并求其定義域，再求導判斷函數的單調性及求函數的最值；

（3）代入a=1，令F（x）=g（x）﹣f（x）=x3﹣x2﹣lnx，從而化在區間[1，+∞）上，函數f（x）的圖象在g（x）=x3的圖象下方為F（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，再化為函數的最值問題即可．

解：（1）當a=﹣1時，f（x）=x2﹣lnx的定義域為（0，+∞），

f′（x）=x﹣=；

故f（x）在（0，1）上是減函數，在（1，+∞）上是增函數，

故f（x）在x=1處取得極小值f（1）=；

（2）當a=1時，f（x）=x2+lnx的定義域為（0，+∞），

f′（x）=x+＞0；

故f（x）在[1，e]上是增函數，

故fmin（x）=f（1）=，fmax（x）=f（e）=e2+1；

（3）證明：令F（x）=g（x）﹣f（x）=x3﹣x2﹣lnx；

則F′（x）=2x2﹣x﹣=，

∵x∈[1，+∞），

∴F′（x）=≥0，

∴F（x）在[1，+∞）上是增函數，

故F（x）≥F（1）=﹣=＞0；

故在區間[1，+∞）上，函數f（x）的圖象在g（x）=x3的圖象下方．