Question

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，l是過(guò)定點(diǎn)P(4,2)且傾斜角為α的直線；在極坐標(biāo)系(以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，

以x軸非負(fù)半軸為極軸，取相同單位長(zhǎng)度)中，曲線C的極坐標(biāo)方程為.

(1)寫出直線l的參數(shù)方程，并將曲線C的方程化為直角坐標(biāo)方程；

(2)若曲線C與直線相交于不同的兩點(diǎn)M，N，求|PM|＋|PN|的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)直接寫出的參數(shù)方程，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系式，可將曲線C的方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）聯(lián)立的參數(shù)方程與曲線的普通方程，消去與，得到關(guān)于的一元二次方程，寫出關(guān)于及的表達(dá)式，利用韋達(dá)定理及的范圍，可探求的取值范圍.

試題解析：(1)直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))．

∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，所以C：x2＋y2＝4x.

(2)直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))，代入C：x2＋y2＝4x，得

t2＋4(sin α＋cos α)t＋4＝0，

則有∴sin α·cos α>0，又α∈[0，π)，

所以α∈，t1<0，t2<0.

而|PM|＋|PN|＝＋

＝|t1|＋|t2|

＝－t1－t2＝4(sin α＋cos α)＝4sin.

∵α∈，∴α＋∈，∴<sin≤1，

所以|PM|＋|PN|的取值范圍為(4,4]．