Question

已知函數f(x)=(x²+ax+a)e^-x（a為常數），
（1）若函數f(x)在x=0時取得極小值，試確定a的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，設由f(x)的極大值構成的函數為g(x)，試判斷曲線g(x)只可能與直線2x-3y+m=0，3x-2y+n=0（m，n為確定的常數）中的哪一條相切，并說明理由。

Answer 1

解：（1），
令f′(x)=0，得x=0，x=2-a，
當a=2時，恒成立，此時函數f(x)單調遞減，x=0不是函數的極值點；
當a＞2時，2-a＜0，若x＞0，則f′(x)＜0；若2-a＜x＜0，則f′(x)＞0，此時x=0是函數f(x)的極大值點；
當a＜2時，2-a＞0，若x＜0，則f′(x)＜0；若0＜x＜2-a，則f′(x)＞0，x=0是函數f(x)的極小值點；
綜上所述，使得函數f(x)在x=0處取得極小值的a的取值范圍是a＜2。
（2）由（1）知a＜2時，函數f(x)在x=2-a時取得極大值，
故函數f(x)的極大值等于，故，
（x＜2），
令，則，對于x＜2大于零恒成立，即函數h(x)在(-∞，2)單調遞減，
故在(-∞，2)上，，即恒有g′(x)＜1，
由直線2x-3y+m=0的斜率是，直線3x-2y+n=0的斜率是，
根據導數的幾何意義知曲線g(x)只能可能與直線2x-3y+m=0相切。