Question

已知函數f(x)=

x-1

x+a

+ln(x+1)，其中實數a≠1．
（1）若a=2，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）若f（x）在x=1處取得極值，試討論f（x）的單調性．

Answer 1

分析：首先求出函數的導數及在點f（0）處的值，然后求出在該點的切線方程，第二問根據函數的導數與極值的關系求出a的值，然后根據函數的導數與單調性的關系討論函數的單調性．

解答：解：（1）f′(x)=

x+a-(x-1)

(x+a)2

+

1

x+1

=

a+1

(x+a)2

+

1

x+1

，
當a=2時，f′（0）=

7

4

，而f（0）=-

1

2

，
所以曲線在點（0，f（0））處的切線方程為：y-（-

1

2

）=

7

4

（x-0），即7x-4y-2=0．
（2）因為a≠1，由（1）可知f′(1)=

a+1

(1+a)2

+

1

1+1

=

1

a+1

+

1

2

；
又因為f（x）在x=1處取得極值，
所以

1

a+1

+

1

2

=0，解得a=-3；
此時f(x)=

x-1

x-3

+ln(x+1)，定義域（-1，3）∪（3，+∞）；
f′(x)=

-2

(x-3)2

+

1

x+1

=

(x-1)(x-7)

(x-3)2(x+1)

，
由f′（x）=0得x₁=1，x₂=7，當-1＜x＜1或x＞7時f′（x）＞0；
當1＜x＜7且x≠3時f′（x）＜0；
由上討論可知f（x）在（-1，1]，[7，+∞）時是增函數，在[1，3），（3，7]上是減函數．

點評：掌握函數的導數與極值和單調性的關系．