Question

【題目】已知函數f（x）=3x ， x∈[﹣1，1]，函數g（x）=[f（x）]2﹣2af（x）+3．
（1）當a=0時，求函數g（x）的值域；
（2）若函數g（x）的最小值為h（a），求h（a）的表達式；
（3）是否存在實數m，n同時滿足下列兩個條件：①m＞n＞3；②當h（a）的定義域為[n，m]時，值域為[n2 ， m2]？若存在，求出m，n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）=3x，x∈[﹣1，1]，∴ ，設t=3x， ，

則φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，對稱軸為t=a．

當a=0時，φ（t）=t2+3， ，∴φ（t）∈[ ，12]，

∴函數g（x）的值域是：[ ，12]；

（2）解：∵函數φ（t）的對稱軸為t=a，

當a＜ 時，ymin=h（a）=φ（ ）= ；

當 時，ymin=h（a）=φ（a）=3﹣a2；

當a＞3時，ymin=h（a）=φ（3）=12﹣6a．

故 ，

（3）解：假設滿足題意的m，n存在，∵m＞n＞3，∴h（a）=12﹣6a，

∴函數h（a）在（3，+∞）上是減函數．

又∵h（a）的定義域為[n，m]，值域為[n2，m2]，

∴ ，兩式相減得6（m﹣n）=（m﹣n）（m+n），

又∵m＞n＞3，∴m﹣n≠0，∴m+n=6，與m＞n＞3矛盾．

∴滿足題意的m，n不存在

【解析】（1）設t=3x ， 則φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2 ， φ（t）的對稱軸為t=a，當a=0時，即可求出g（x）的值域；（2）由函數φ（t）的對稱軸為t=a，分類討論當a＜ 時，當 時，當a＞3時，求出最小值，則h（a）的表達式可求；（3）假設滿足題意的m，n存在，函數h（a）在（3，+∞）上是減函數，求出h（a）的定義域，值域，然后列出不等式組，求解與已知矛盾，即可得到結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的值域的相關知識，掌握求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的．