Question

【題目】如圖所示，過拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點F作直線交C于A、B兩點，過A、B分別向C的準線l作垂線，垂足為A′，B′，已知四邊形AA′B′F與BB′A′F的面積分別為15和7，則△A′B′F的面積為 ．

Answer 1

【答案】6
【解析】解：設△A′B′F的面積為S，直線AB：x=my+ ，代入拋物線方程，消元可得y2﹣2pmy﹣p2=0 設A（x1 ， y1） B（x2 ， y2），則y1y2=﹣p2 ， y1+y2=2pm
S△AA'F= |AA'|×|y1|= |x1+ ||y1|= （ + ）|y1|
S△BB'F= |BB'|×|y2|= |x2+ ||y2|= （ + ）|y2|
∴ （ + ）|y1|× （ + ）|y2|= （ + + ）= （m2+1）
S△A′B′F= |y1﹣y2|= =S
∵四邊形AA′B′F與BB′A′F的面積分別為15和7
∴ （m2+1）=（15﹣S）（7﹣S）
∴ S2=（15﹣S）（7﹣S）
∴ S2﹣22S+105=0
∴S=6
所以答案是：6