Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，平面平面，四邊形和四邊形都是正方形，且邊長為，是的中點(diǎn).

（1）求證：直線平面；

（2）求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）連結(jié)交于，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得是中點(diǎn)，再根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得，最后根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論,（2）根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo),利用方程組解各面法向量,根據(jù)向量數(shù)量積求夾角,最后根據(jù)二面角與向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系求二面角.

試題解析：（1）∵且，

與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)

∴平面平面，∴幾何體是三棱柱

又平面平面，，∴平面，故幾何體是直三棱柱

（1）四邊形和四邊形都是正方形，所以且，所以四邊形為矩形；于是，連結(jié)交于，連結(jié)，是中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，故是三角形D的中位線，，注意到在平面外，在平面內(nèi)，∴直線平面

（2）由于平面 平面，，∴平面，所以.于是，，兩兩垂直.以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，因正方形邊長為，且為中點(diǎn)，所以，，，

于是，，設(shè)平面的法向量為

則，解之得，同理可得平面的法向量，∴

記二面角的大小為，依題意知，為銳角，，

即求二面角的大小為