Question

【題目】如圖，橢圓：（）和圓：，已知圓將橢圓的長軸三等分，橢圓右焦點到右準線的距離為，橢圓的下頂點為，過坐標原點且與坐標軸不重合的任意直線與圓相交于點、．

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線、分別與橢圓相交于另一個交點為點、.

①求證：直線經過一定點；

②試問：是否存在以為圓心，為半徑的圓，使得直線和直線都與圓相交？若存在，請求出實數的范圍；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）①詳見解析；②存在，.

【解析】

試題（1）由圓C2將橢圓C1的長軸三等分，可得；又橢圓C1右焦點到右準線的距離為，可得，及a2=b2+c2即可得出；（2）①由題意知直線PE，ME的斜率存在且不為0，設直線PE的斜率為k，則PE：y=kx-1，與橢圓的方程聯立可得點P的坐標，同理可得點M的坐標，進而得到直線PM的方程，可得直線PM過定點．

②由直線PE的方程與圓的方程聯立可得點A的坐標，進而得到直線AB的方程．假設存在圓心為（m，0），半徑為的圓G，使得直線PM和直線AB都與圓G相交，則圓心到二直線的距離都小于半徑．即（i），（ii）．得出m的取值范圍存在即可．

試題解析：（Ⅰ ）依題意，，則，

∴，又，∴，則，

∴橢圓方程為．

（2）①由題意知直線的斜率存在且不為0，設直線的斜率為，則：，

由得或

∴，

用去代，得，

方法1：，

∴：，即，

∴直線經過定點．

方法2：作直線關于軸的對稱直線，此時得到的點、關于軸對稱，則與相交于軸，可知定點在軸上，

當時，，，此時直線經過軸上的點，

∵

∴，∴、、三點共線，即直線經過點，

綜上所述，直線經過定點．

②由得或∴，

則直線：，

設，則，直線：，直線：，

假設存在圓心為，半徑為的圓，使得直線和直線都與圓相交，

則由（）得對恒成立，則，

由（）得，對恒成立，

當時，不合題意；當時，，得，即，

∴存在圓心為，半徑為的圓，使得直線和直線都與圓相交，所有的取值集合為．

解法二：圓，由上知過定點，故；又直線過原點，故，從而得．