Question

【題目】已知為橢圓的右焦點，點在上，且軸．

（1）求的方程

（2）過的直線交于兩點，交直線于點．證明：直線的斜率成等差數列．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）運用橢圓的定義和勾股定理，可得a，b，進而得到橢圓方程；
（2）由題意可設直線AB的方程為y=k（x-2），求得M的坐標，聯立橢圓方程，運用韋達定理，以及直線的斜率公式，結合等差數列的中項性質，化簡整理，即可得證．

解：（1） 因為點在上，且軸，所以，

設橢圓左焦點為，則，，

中，，所以．

所以，，

又，

故橢圓的方程為；

（2）證明：由題意可設直線的方程為，

令得，的坐標為，

由得，，

設，，，，

則有，①．

記直線，，的斜率分別為，，，

從而，，．

因為直線的方程為，所以，，

所以

②．

①代入②得，

又，所以，

故直線，，的斜率成等差數列．