Question

【題目】以直角坐標系的原點為極坐標系的極點，軸的正半軸為極軸．已知曲線的極坐標方程為，是上一動點，，點的軌跡為．

（1）求曲線的極坐標方程，并化為直角坐標方程；

（2）若點，直線的參數方程（為參數），直線與曲線的交點為，當取最小值時，求直線的普通方程．

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）設點極坐標分別為,，由可得,整理即可得到極坐標方程,進而求得直角坐標方程；

（2）設點對應的參數分別為，則，，將直線的參數方程代入的直角坐標方程中,再利用韋達定理可得，，則，求得取最小值時符合的條件,進而求得直線的普通方程.

（1）設點極坐標分別為，，

因為,則，

所以曲線的極坐標方程為，

兩邊同乘,得，

所以的直角坐標方程為,即.

（2）設點對應的參數分別為，則,，將直線的參數方程（參數），代入的直角坐標方程中，整理得.

由韋達定理得，，

所以，當且僅當時，等號成立，則，

所以當取得最小值時，直線的普通方程為.