Question

【題目】如圖，已知鈍角△ABC中，∠B-∠C=90°，∠C=θ，其外接圓⊙O的半徑為R.AD是⊙O的一條直徑，過點D作⊙O的切線與BC的延長線交于H，過點D作BA的平行線交AC的延長線于E，交過D、O、H的圓于G，聯結GH、EH.求△EGH的面積.

Answer 1

【答案】

【解析】

設直線OH分別交AC、BA的延長線于E’、F.

首先證明：O為線段E’F的中點.

如圖，設∠BAC=a，∠CBA=β.聯結OB、OC.設∠OAB=x，∠OAC=y，∠OBC=z.

則a+β+θ=180°，x-y=a，x+z=β，z-y=θ.

故x-y+z.

從而，x=90-θ， y=β-90°，z=90°-a.

聯結BD，則∠DBH=∠DAC= y，∠BDH=∠DAB=x， BD=2Rsinx.

在△DBH中，由正弦定理得.

設∠AOF=γ.在Rt△ODH中，DH=Rtanγ.

所以，

即.

則

即

在△AOF和△AOE’中，分別用正弦定理可得

所以，OF= OE’.

因為O為線段AD的中點，所以,DE'//BA.則點E’與E重合.于是，∠GEH=∠OED.

又O、D、G、H四點共圓，所以，∠HGE=∠DOH=∠DOE.

因此，△EGH∽△EOD.

過D、O、H的圓的直徑. 而∠GDH=90°-x.

在△GDH中，由正弦定理得

故，即.

在△AED中，由正弦定理得.

則

由，得.

所以，

.