Question

【題目】已知依次滿足

（1）求點的軌跡；

（2）過點作直線交以為焦點的橢圓于兩點，線段的中點到軸的距離為，且直線與點的軌跡相切，求該橢圓的方程；

（3）在（2）的條件下，設點的坐標為，是否存在橢圓上的點及以為圓心的一個圓，使得該圓與直線都相切，如存在，求出點坐標及圓的方程，如不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）以原點為圓心，為半徑的圓； （2）； （3）存在點，其坐標為或,使得直線與以為圓心的圓相切

【解析】

（1）利用表示出，從而得到軌跡方程；（2）利用直線與圓相切得到，將直線方程代入橢圓方程，得到，利用求得，從而得到橢圓方程；（3）利用圓心到直線距離等于半徑得到，再利用在橢圓上可以求解出點坐標，從而可求得結果.

（1）設，

則

則：

代入得：

點的軌跡是以原點為圓心，為半徑的圓

（2）由題意可知直線斜率存在，設直線的方程為……①

橢圓的方程……②

由與圓相切得：

將①代入②得：

又，可得

設，

橢圓方程為：

（3）假設存在橢圓上的一點，使得直線與以為圓心的圓相切

則到直線的距離相等，又

則，

則

化簡整理得：

點在橢圓上

解得：或（舍）

時，

橢圓上存在點，其坐標為或

使得直線與以為圓心的圓相切