Question

【題目】已知，函數

討論的單調性；

若是的極值點，且曲線在兩點 處的切線相互平行，這兩條切線在軸上的截距分別為，求的取值范圍

Answer 1

【答案】當時，在上單調遞減，無單調遞增區間；當時，在上單調遞減，上單調遞增； .

【解析】

（Ⅰ）求出導函數，對a分類討論，解不等式即可得到函數的單調性；

（Ⅱ）由是的極值點可知a=1，利用切線平行可得，同理，，構建新函數即可得到的取值范圍.

（Ⅰ）.

當時，在上恒成立.

在上單調遞減，無單調遞增區間；

當，且，即時，在上恒成立.

在上單調遞減，無單調遞增區間；

當，且，即時，在上，，在上，，

在上單調遞減，上單調遞增.

綜上，當時，在上單調遞減，無單調遞增區間；當時，在上單調遞減，上單調遞增.

（Ⅱ）是的極值點，由可知

設在處的切線方程為

在處的切線方程為

若這兩條切線互相平行，則，

令，則，同理，

【解法一】

設，

，

在區間上單調遞減，

即的取值范圍是

【解法二】

令，其中

函數在區間上單調遞增，.

的取值范圍是

【解法三】

設，則

，，函數在區間上單調遞增，

的取值范圍是.