Question

【題目】已知橢圓 + =1（a＞b＞0）右頂點與右焦點的距離為 ﹣1，短軸長為2 ． （Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過左焦點F的直線與橢圓分別交于A、B兩點，若三角形OAB的面積為 ，求直線AB的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意， ，解得a= ，c=1． 即橢圓方程為 =1
（Ⅱ）當直線AB與x軸垂直時，|AB|= ，此時S= 不符合題意，故舍掉；
當直線AB與x軸不垂直時，設直線 AB的方程為：y=k（x+1），代入消去y得：（2+3k2）x2+6k2x+（3k2﹣6）=0．
設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），則 ，所以|AB|= ．
原點到直線的AB距離d= ，
所以三角形的面積S= ．
由S= 可得k2=2，∴k=± ，
所以直線AB： =0或AB： =0
【解析】（Ⅰ）根據橢圓右頂點與右焦點的距離為 ，短軸長為 ，可得 ，由此，即可求得橢圓方程；（Ⅱ）當直線AB與x軸垂直時， ，此時 不符合題意；當直線AB與x軸不垂直時，設直線 AB的方程為：y=k（x+1），代入消去y得，進而可求三角形的面積，利用 ，即可求出直線AB的方程．
【考點精析】認真審題，首先需要了解橢圓的標準方程(橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：)．