【題目】設橢圓
，點
為其右焦點，過點的直線與橢圓
相交于點
，
.
（1）當點在橢圓上運動時，求線段
的中點
的軌跡方程；
（2）如圖1，點
的坐標為
，若點
是點關于
軸的對稱點，求證：點，，共線；
（3）如圖2，點
是直線
上的任意一點，設直線
，
，
的斜率分別為
，
，
，求證，，成等差數列.
【答案】（1）
； （2）見解析； （3）見解析.
【解析】
（1）設出中點
的坐標，利用點
的坐標得到
點的坐標，將點的坐標代入橢圓方程，化簡得到點的軌跡方程.（2）當
斜率存在時，設出直線的方程，代入橢圓橢圓方程化簡后寫出韋達定理，計算
，由此證得點
，
，
共線. 當斜率不存在時，由橢圓對稱性,易得結論成立.（3）設出
的坐標，利用（2）的結果化簡
的表達式，化簡得到結果為
，由此證得
，
，
成等差數列.
（1）
，設
，則
，在橢圓
上，所以所求軌跡方程為
.
（2）當斜率存在時，設其方程為：
，
，
將代入橢圓方程并化簡得
其中
，
所以
，點，，共線，
而當斜率不存在時，由橢圓對稱性，，重合，結論顯然成立，綜上點，，共線；
（3）設
， 
由（2）知
，
故，，成等差數列.
天天向上一本好卷系列答案
小學生10分鐘應用題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某蔬果經銷商銷售某種蔬果，售價為每公斤25元，成本為每公斤15元.銷售宗旨是當天進貨當天銷售.如果當天賣不出去，未售出的全部降價以每公斤10元處理完.根據以往的銷售情況，得到如圖所示的頻率分布直方圖：
（1）根據頻率分布直方圖計算該種蔬果日需求量的平均數
（同一組中的數據用該組區間中點值代表）；
（2）該經銷商某天購進了250公斤這種蔬果，假設當天的需求量為
公斤
，利潤為
元.求關于的函數關系式，并結合頻率分布直方圖估計利潤不小于1750元的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱錐
中，已知
是正三角形，平面
平面
，
，
為
的中點，
在棱
上，且
.
（1）求證：
平面
；
（2）若
為
的中點，問上是否存在一點
，使
平面？若存在，說明點的位置；若不存在，試說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校“凌云杯”籃球隊的成員來自學校高一、高二共10個班的12位同學，其中高一（3）班、高二（3）各出2人，其余班級各出1人，這12人中要選6人為主力隊員，則這6人來自不同的班級的概率為_____．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】現有一長為100碼，寬為80碼，球門寬為8碼的矩形足球運動場地，如圖所示，其中
是足球場地邊線所在的直線，球門
處于所在直線的正中間位置，足球運動員（將其看做點
）在運動場上觀察球門的角
稱為視角．
（1）當運動員帶球沿著邊線
奔跑時，設到底線的距離為
碼，試求當
為何值時最大；
（2）理論研究和實踐經驗表明：張角越大，射門命中率就越大．現假定運動員在球場都是沿著垂直于底線的方向向底線運球，運動到視角最大的位置即為最佳射門點，以的中點為原點建立如圖所示的直角坐標系，求在球場區域
內射門到球門的最佳射門點的軌跡.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
兩點分別在
軸和
軸上運動，且
，若動點
滿足
.
（1）求出動點P的軌跡對應曲線C的標準方程；
（2）一條縱截距為2的直線
與曲線C交于P，Q兩點，若以PQ直徑的圓恰過原點，求出直線方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了紀念“一帶一路”倡議提出五周年,某城市舉辦了一場知識競賽,為了了解市民對“一帶一路”知識的掌握情況,從回收的有效答卷中按青年組和老年組各隨機抽取了40份答卷,發現成績都在
內,現將成績按區間
,
,
,
，
進行分組,繪制成如下的頻率分布直方圖．
青年組
中老年組
(1)利用直方圖估計青年組的中位數和老年組的平均數；
(2)從青年組,的分數段中,按分層抽樣的方法隨機抽取5份答卷,再從中選出3份答卷對應的市民參加政府組織的座談會,求選出的3位市民中有2位來自分數段的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2018年9月，臺風“山竹”在我國多個省市登陸，造成直接經濟損失達52億元.某青年志愿者組織調查了某地區的50個農戶在該次臺風中造成的直接經濟損失，將收集的數據分成五組：
，
，
，
，
（單位：元），得到如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）試根據頻率分布直方圖估計該地區每個農戶的平均損失（同一組中的數據用該組區間的中點值代表）；
（2）臺風后該青年志愿者與當地政府向社會發出倡議，為該地區的農戶捐款幫扶，現從這50戶并且損失超過4000元的農戶中隨機抽取2戶進行重點幫扶，設抽出損失超過8000元的農戶數為
，求的分布列和數學期望.
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