Question

【題目】如圖所示，已知直線l過點P(3，2)，且與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點，求△AOB面積最小時l的方程．

Answer 1

【答案】

【解析】

假設直線與坐標軸交點，設直線的截距式，將點P代入直線方程，求出a、b關系，根據三角形面積的公式，用a表示三角形面積，整理為關于a的二次方程，令，求得三角形面積的最小值，然后求出參數值，即可得出直線方程.

設A(a，0)，B(0，b)，顯然a>3，b>2，

則直線l的方程為＋＝1，

因為P(3，2)在直線l上，所以＋＝1，于是b＝，

所以S△AOB＝ab＝，整理得a2－S△AOB·a＋3S△AOB＝0(*)．

因為此方程有解，所以Δ＝S－12S△AOB≥0，

又因為S△AOB>0，所以S△AOB≥12，S△AOB最小值＝12．

將S△AOB＝12代入(*)式，得a2－12a＋36＝0，解得a＝6，b＝4．

此時直線l的方程為＋＝1，即2x＋3y－12＝0．