Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線l的參數方程為 （其中t為參數），現以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為ρ=4cosθ．

（Ⅰ）寫出直線l和曲線C的普通方程；
（Ⅱ）已知點P為曲線C上的動點，求P到直線l的距離的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）直線l： （其中t為參數），消去參數t得普通方程y=x﹣4．由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ．
由x=ρcosθ，y=ρsinθ以及x2+y2=ρ2 ， 得
x2+（y﹣2）2=4；
（Ⅱ）由x2+（y﹣2）2=4得圓心坐標為（0，2），半徑R=2，
則圓心到直線的距離為：d= =3 ，
而點P在圓上，即O′P+PQ=d（Q為圓心到直線l的垂足），
所以點P到直線l的距離最小值為3 ﹣2．
【解析】（Ⅰ）消去參數t即可得到直線l的普通方程；利用x=ρcosθ，y=ρsinθ將曲線C轉化為普通方程；（Ⅱ）利用點到直線的距離公式，求出P到直線l的距離的最小值，再根據函數取最值的情況求出P點的坐標，得到本題結論．