Question

【題目】已知動圓過定點 ，且與定直線相切，動圓圓心的軌跡方程為，直線過點交曲線于兩點.

（1）若交軸于點，求的取值范圍；

（2）若的傾斜角為，在上是否存在點使為正三角形？若能，求點的坐標；若不能，說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) 直線l上不存在點E，使得△ABE是正三角形.

【解析】試題分析：

（1）由題意可知曲線C是拋物線，可得拋物線方程，把直線方程代入拋物線方程得x的一元二次方程，同時設設，利用韋達定理得，用坐標表示出，利用基本不等式并轉化為，代入韋達定理的結論可得．

（2）假設存在點，使△ABE為正三角形，則|BE|=|AB|且|AE|=|AB|， 由拋物線定義知，這樣把|BE|= 和|AE|= 用坐標表示，兩式相減就可解得，從而得E點坐標，但檢驗發現此時，故剛才的解不正確，即不存在E點滿足題意．

試題解析：

（1）依題意，曲線C是以點P為焦點，直線為準線的拋物線，

所以曲線C的方程為

設方程為代入由消去得

設、，則

所以的取值范圍是

(2)由（1）知方程為代入由消去得

，

假設存在點，使△ABE為正三角形，則|BE|=|AB|且|AE|=|AB|，

即， ．

若，則

因此，直線l上不存在點E，使得△ABE是正三角形.

解法二：設AB的中點為G，則

由聯立方程

與方程求得

由得，矛盾

因此，直線l上不存在點E，使得△ABE是正三角形.