Question

【題目】已知函數f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0且a≠1）
（1）求函數f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）求函數f（x）單調區間；
（3）若存在x1 ， x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然對數的底數），求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為函數f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0，a≠1），

所以f′（x）=axlna+2x﹣lna，f′（0）=0，

又因為f（0）=1，所以函數f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=1

（2）解：由（1），f′（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna．

當a＞1時，lna＞0，（ax﹣1）lna在R上遞增；

當0＜a＜1時，lna＜0，（ax﹣1）lna在R上遞增；

故當a＞0，a≠1時，總有f′（x）在R上是增函數，

又f′（0）=0，所以不等式f′（x）＞0的解集為（0，+∞），

故函數f（x）的單調增區間為（0，+∞），遞減區間為 （﹣∞，0）

（3）解：因為存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1成立，

而當x∈[﹣1，1]時，|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min，

所以只要f（x）max﹣f（x）min≥e﹣1即可．

又因為x，f'（x），f（x）的變化情況如下表所示：

x	（﹣∞，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	﹣	0	+
f（x）	減函數	極小值	增函數

可得f（x）在[﹣1，0]上是減函數，在[0，1]上是增函數，

所以當x∈[﹣1，1]時，f（x）的最小值f（x）min=f（0）=1，

f（x）的最大值f（x）max為f（﹣1）和f（1）中的最大值．

因為 ，

令 ，因為 ，

所以 在a∈（0，1）、（1，+∞）上是增函數．

而g（1）=0，故當a＞1時，g（a）＞0，即f（1）＞f（﹣1）；

當0＜a＜1時，g（a）＜0，即f（1）＜f（﹣1）．

所以，當a＞1時，f（1）﹣f（0）≥e﹣1，即a﹣lna≥e﹣1，

函數y=a﹣lna在a∈（1，+∞）上是增函數，解得a≥e；

當0＜a＜1時，f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1，即 ，

函數 在a∈（0，1）上是減函數，解得 ．

綜上可知，所求a的取值范圍為

【解析】（1）先求f′（x），再計算f′（0），和f（0），即可得到切線方程；（2）先求函數的導數f′（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna，并且f′（0）=0，判斷零點兩側的正負，得到單調區間；（3）將存在性問題轉化為|f（x1）﹣f（x2）|max≥e﹣1，即f（x）max﹣f（x）min≥e﹣1，根據上一問的單調性得到最小值f（0），再計算端點值f（﹣1）和f（1）比較大小．因為 ，再令令 ，求其導數，分情況比較大小，計算a的取值范圍．