Question

【題目】已知函數f（x）＝lnx﹣sinx+ax（a＞0）．

（1）若a＝1，求證：當x∈（1，）時，f（x）＜2x﹣1；

（2）若f（x）在（0，2π）上有且僅有1個極值點，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）（0，1）．

【解析】

（1）構造函數g（x）＝f（x）﹣（2x﹣1），對其求導研究其在x單調性，即可證明結論；

（2）先對f（x）求導，然后把f（x）在（0，2π）上有且僅有1個極值點轉化為的零點問題，利用y（a＞0）與函數y＝cosx，x∈（0，）的圖象只有一個交點求出a的取值范圍即可．

解：（1）證明：當a＝1時，f（x）＝lnx﹣sinx+x，令g（x）＝f（x）﹣（2x﹣1）＝lnx﹣sinx﹣x+1，x，

則，∴g（x）在（1，）上單調遞減，

故g（x）＜g（1）＝﹣sin1＜0，所以f（x）＜2x﹣1；

（2）解：由題知，令，所以．

∵在（0，2π）上有且僅有1個極值點，

∴函數y（a＞0）與函數y＝cosx，x∈（0，）的圖象只有一個交點，

∴，即，

所以a的取值范圍為．