Question

設是函數的一個極值點。
（1）求與的關系式（用表示），并求的單調區間；
（2）設，若存在，使得成立，求實數的取值范圍。

Answer 1

（1）；
①當時，單增區間為：；單減區間為：、；
②當時，單增區間為：；單減區間為：、；
（2）的取值范圍為。

試題分析：（1）∵ ∴
      2分
由題意得：，即，    3分
∴且
令得，
∵是函數的一個極值點
∴，即
故與的關系式  5分
①當時，，由得單增區間為：；
由得單減區間為：、；
②當時，，由得單增區間為：；
由得單減區間為：、；    8分
（2）由（1）知：當時，，在上單調遞增，在上單調遞減，，
∴在上的值域為   10分
易知在上是增函數
∴在上的值域為  12分
由于，
又∵要存在，使得成立，
∴必須且只須解得： 
所以：的取值范圍為    14分
點評：典型題，本題屬于導數應用中的基本問題，像涉及恒成立問題，往往通過研究函數的最值達到解題目的。證明不等式問題，往往通過構造新函數，研究其單調性及最值，而達到目的。