Question

【題目】如圖，橢圓的離心率為，頂點為，，，，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）若是橢圓上除頂點外的任意一點，直線交軸于點，直線交于點.設的斜率為，的斜率為，試問是否為定值？并說明理由.

Answer 1

【答案】(1) 橢圓的方程為：;(2)見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由橢圓的離心率，，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）由A1(－2，0)、A2(2，0)、B1(0，－1)、B2(0，1)，得直線A2P的方程為，由，得，由此利用韋達定理、直線方程、直線的斜率公式，結合已知條件能求出2m-k為定值．

試題解析：

(Ⅰ)解：∵，∴，即 　　①

由已知，A1(－a，0)、A2(a，0)、B1(0，－b)、B2(0，b)

∴

由得 　�、�

由①②得：a = 2，b = 1，∴橢圓C的方程為．

(Ⅱ)證：由(Ⅰ)知，A1(－2，0)、A2(2，0)、B1(0，－1)、B2(0，1)

∴直線A2P的方程為

由 得：

設P(x1，y1)，則，∴

直線B2P的方程為，即

令y = 0，得，即

直線A1B2的方程為

由 得：

∴直線EQ的斜率，∴，是定值．