Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）當時，求的單調區間；

（Ⅱ）若函數與圖象在上有兩個不同的交點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函數的增區間為，減區間；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）將代入函數的解析式，求出該函數的定義域和導數，然后分別解不等式和可得出函數的增區間和減區間；

（Ⅱ）令得出，問題轉化為：當直線與函數在區間上的圖象有兩個交點時，求實數的取值范圍，并利用導數分析函數在區間上的單調性、極值和端點函數值，利用數形結合思想可得出實數的取值范圍，即可求出實數的取值范圍.

（Ⅰ）當時，，定義域為，

且.

令，即，解得；

令，即，解得.

因此，函數的增區間為，減區間；

（Ⅱ）由已知得：在有兩個不相等的實數根.

令，，由得.

當時，，此時，函數為減函數；

當時，，此時，函數為增函數.

所以，函數在處取得極小值，

又，且，

當時，直線與函數在區間上的圖象有兩個交點，，

因此，實數的取值范圍是.