Question

【題目】已知（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n的展開式中x的系數恰好是數列{an}的前n項和Sn ．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）數列{bn}滿足 ，記數列{bn}的前n項和為Tn ， 求證：Tn＜1．

Answer 1

【答案】
（1）解：（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n的展開式中x的系數為 = ，

即 ，

所以當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=n．

當n=1時，a1=1也適合上式．

所以數列{an}的通項公式為an=n

（2）證明： ，

所以 ，

所以Tn＜1

【解析】（1）根據二項式定理可得 ，繼而求出數列的通項公式；（2）根據“裂項求和“即可證明．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的通項公式的相關知識，掌握如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．