Question

橢圓C的中心在原點O，它的短軸長為，相應(yīng)的焦點的準線了l與x軸相交于A，|OF₁|=2|F₁A|.
(1)求橢圓的方程；
(2)過橢圓C的左焦點作一條與兩坐標軸都不垂直的直線l，交橢圓于P、Q兩點，若點M在軸上，且使MF₂為的一條角平分線，則稱點M為橢圓的“左特征點”，求橢圓C的左特征點；
(3)根據(jù)(2)中的結(jié)論，猜測橢圓的“左特征點”的位置．

Answer 1

(1)  (2)  (3) 左準線與軸的交點

本試題主要是運用橢圓的幾何性質(zhì)得到橢圓方程，然后結(jié)合新定義得到直線與 橢圓的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理表示，然后得到左特征點。同時利用橢圓的準線返程的得到交點，進而猜測左特征點。
（1）由條件知，可設(shè)橢圓方程為
又
（2）)設(shè)左特征點為，左焦點為，
可設(shè)直線的方程為
聯(lián)立直線與橢圓方程的得到關(guān)系式，進而得到韋達定理，利用角平分線的性質(zhì)得到結(jié)論。
（3）因為橢圓的左準線與軸的交點為，
故猜測橢圓的左特征點為左準線與軸的交點。
解：（1）由條件知，可設(shè)橢圓方程為
又
橢圓方程為   …………4分
(2)設(shè)左特征點為，左焦點為，
可設(shè)直線的方程為
由與，消去得
又設(shè)，則
      ①     
        　　　②                …………6分
因為為的角平分線，所以，即
       ③
將與代入③化簡，得     
   ④
再將①②代入④得       
 即左特征點為                      …………10分
（3）因為橢圓的左準線與軸的交點為，
故猜測橢圓的左特征點為左準線與軸的交點． …………12分