Question

【題目】已知，函數.

（1）當時，解不等式；

（2）若關于的方程的解集中恰有兩個元素，求的取值范圍；

（3）設，若對任意，函數在區間上的最大值與最小值的和不大于，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）當a＝1時，利用對數函數的單調性，直接解不等式f（x）1即可；

（2）化簡關于x的方程f（x）+2x＝0，通過分離變量推出a的表達式，通過解集中恰有兩個元素，利用二次函數的性質，即可求a的取值范圍；

（3）在R上單調遞減利用復合函數的單調性，求解函數的最值，∴令，化簡不等式，轉化為求解不等式的最大值，然后求得a的范圍．

（1）當時，，

∴，解得，

∴原不等式的解集為.

（2）方程，

即為，

∴，

∴，

令，則，

由題意得方程在上只有兩解，

令, ,

結合圖象可得，當時，直線和函數的圖象只有兩個公共點，

即方程只有兩個解．

∴實數的范圍.

（3）∵函數在上單調遞減，

∴函數在定義域內單調遞減，

∴函數在區間上的最大值為，

最小值為，

∴，

由題意得，

∴恒成立，

令，

∴對，恒成立，

∵在上單調遞增，

∴

∴，

解得，

又，

∴．

∴實數的取值范圍是.