Question

已知點B（0，1），點C（0，-3），直線PB、PC都是圓（x-1）²+y²=1的切線（P點不在y軸上）．以原點為頂點，且焦點在x軸上的拋物線C恰好過點P．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過點（1，0）作直線l與拋物線C相交于M，N兩點，問是否存在定點R，使為常數？若存在，求出點R的坐標及常數；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出直線的方程，根據圓心到直線的距離為半徑1求得k，則PC的方程可得，與方程y=1聯立求得點P的坐標，則拋物線的方程可得．
（2）設直線l的方程代入拋物線方程并整理，設出M，N的坐標，根據韋達定理求得y₁+y₂和y₁y₂的表達式，設R（x，y），
進而表示出進而可推斷出當x=y=0時上式是一個與m無關的常數．斷定存在定點R（0，0），相應的常數是．
解答：解：（1）設直線PC的方程為：y=kx-3，
由得，所以PC的方程為
由得P點的坐標為（3，1）．
可求得拋物線的方程為．
（2）設直線l的方程為x=my+1，
代入拋物線方程并整理得
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則
設R（x，y），
則=（x₁-x）（x₂-x）+（y₁-y）（y₂-y）
=（my₁+1-x）（my₂+1-x）+（y₁-y）（y₂-y）
=m²y₁y₂+m（1-x）（y₁+y₂）+（1-x）²+y₁y₂-y（y₁+y₂）+y²
=．
當x=y=0時上式是一個與m無關的常數．
所以存在定點R（0，0），相應的常數是．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．研究直線與圓錐曲線位置關系的問題，通常有兩種方法：一是轉化為研究方程組的解的問題，利用直線方程與圓錐曲線方程所組成的方程組消去一個變量后，將交點問題（包括公共點個數、與交點坐標有關的問題）轉化為一元二次方程根的問題，結合根與系數的關系及判別式解決問題；二是運用數形結合的思想．