Question

已知點B（0，1），點C（0，—3），直線PB、PC都是圓的切線（P點不在y軸上）.

（I）求過點P且焦點在x軸上拋物線的標準方程；

（II）過點（1，0）作直線與（I）中的拋物線相交于M、N兩點，問是否存在定點R，使為常數？若存在，求出點R的坐標與常數；若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（I）     （II）存在定點R（0，0），相應的常數是 

【解析】

試題分析：（I）設直線PC的方程為：，

由所以PC的方程為  

由得P點的坐標為（3，1）。

可求得拋物線的標準方程為  

（II）設直線l的方程為，代入拋物線方程并整理得

   11分

當時上式是一個與m無關的常數

所以存在定點R（0，0），相應的常數是 

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題；平面向量數量積的運算；拋物線的標準方程．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．研究直線與圓錐曲線位置關系的問題，通常有兩種方法：一是轉化為研究方程組的解的問題，利用直線方程與圓錐曲線方程所組成的方程組消去一個變量后，將交點問題（包括公共點個數、與交點坐標有關的問題）轉化為一元二次方程根的問題，結合根與系數的關系及判別式解決問題；二是運用數形結合的思想．