Question

【題目】已知拋物線，且過拋物線焦點(diǎn)作直線交拋物線所得最短弦長為，過點(diǎn)作斜率存在的動直線與拋物線交于兩點(diǎn).

（1）求拋物線的方程；

（2）若過點(diǎn)作軸的垂線，則軸上是否存在一點(diǎn)，使得直線與直線的交點(diǎn)恒在一條直線上？若存在，求該點(diǎn)的坐標(biāo)及該定直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）

（2）存在定直線，此時(shí)

【解析】

（1）設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合拋物線的定義求出弦長的表達(dá)式，根據(jù)題意求出拋物線的方程；

（2）設(shè)，，根據(jù)三點(diǎn)共線，結(jié)合斜率公式，可得的關(guān)系，利用解方程組，求出直線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)，最后可以求出定直線，以及點(diǎn)坐標(biāo).

（1）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為：，過該焦點(diǎn)的直線方程為：，與拋物線方程聯(lián)立得：設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為：

，所以有，而由拋物線的定義可知：

，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，所以，所以拋物線方程為.

（2）設(shè)，，由三點(diǎn)共線，

得，

直線的斜率，直線的方程為，

直線的方程為，設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，

聯(lián)立，，

，

當(dāng)時(shí)，，

故存在定直線，此時(shí).