Question

【題目】過橢圓的左頂點作斜率為2的直線，與橢圓的另一個交點為，與軸的交點為，已知.

（1）求橢圓的離心率；

（2）設動直線與橢圓有且只有一個公共點，且與直線相交于點，若軸上存在一定點，使得，求橢圓的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（I）根據,設直線方程為,

確定的坐標，由確定得到，

再根據點在橢圓上，求得進一步即得所求；

（2）由可設,

得到橢圓的方程為，

由得

根據動直線與橢圓有且只有一個公共點P

得到,整理得.

確定的坐標，

又,

若軸上存在一定點，使得,那么

可得,由恒成立,故，得解.

試題解析：（1）∵ ,設直線方程為,

令,則,∴, 2分

∴ 3分

∵，∴=,

整理得 4分

∵點在橢圓上,∴,∴ 5分

∴即,∴ 6分

（2）∵可設,

∴橢圓的方程為 7分

由得 8分

∵動直線與橢圓有且只有一個公共點P

∴,即

整理得 9分

設 則有,

∴ 10分

又,

若軸上存在一定點，使得,

∴恒成立

整理得, 12分

∴恒成立,故

所求橢圓方程為 13分