Question

如圖，在以點O為圓心，|AB|=4為直徑的半圓ADB中，OD⊥AB，P是半圓弧上一點，

∠POB=30°，曲線C是滿足||MA|-|MB||為定值的動點M的軌跡，且曲線C過點P.

（Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線C的方程；

（Ⅱ）設(shè)過點D的直線l與曲線C相交于不同的兩點E、F.

若△OEF的面積不小于2，求直線l斜率的取值范圍.

Answer 1

本小題主要考查直線、圓和雙曲線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查軌跡方程的求法、不等式的解法以及綜合解題能力.

（Ⅰ）解法1：以O(shè)為原點，AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（），依題意得

｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＝＜｜AB｜＝4.

∴曲線C是以原點為中心，A、B為焦點的雙曲線.

設(shè)實半軸長為a，虛半軸長為b，半焦距為c，

則c＝2，2a＝2，∴a²=2,b²=c²-a²=2.

∴曲線C的方程為.

解法2：同解法1建立平面直角坐標(biāo)系，則依題意可得｜︱MA︱-︱MB︱｜=｜PA｜-｜PB｜＜

｜AB｜＝4.

∴曲線C是以原點為中心，A、B為焦點的雙曲線.

設(shè)雙曲線的方程為＞0，b＞0）.

則由

　 解得a²=b²=2,

∴曲線C的方程為

圖1

圖2

(Ⅱ)解法1：依題意，可設(shè)直線l的方程為y＝kx+2，代入雙曲線C的方程并整理得（1-k²）x²-4kx-6=0.

∵直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，

∴  　　

∴k∈（-,-1）∪（-1，1）∪（1，）.

設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)(x₂,y₂)，則由①式得x₁+x₂=,于是

｜EF｜＝

＝

而原點O到直線l的距離d＝，

∴S△OEF=

若△OEF面積不小于2,即S△OEF，則有

        ③

綜合②、③知，直線l的斜率的取值范圍為[-，-1)∪(1-,1) ∪(1, ].

解法2：依題意，可設(shè)直線l的方程為y＝kx+2，代入雙曲線C的方程并整理，

得（1-k²）x²-4kx-6=0.

∵直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，

∴     .

∴k∈（-，-1）∪（-1，1）∪（1，）.

設(shè)E(x₁,y₁),F(x₂,y₂),則由①式得

｜x₁-x₂｜=           ③

當(dāng)E、F在同一支上時（如圖1所示），

S△OEF＝

當(dāng)E、F在不同支上時（如圖2所示）.

S_△ODE=

綜上得S_△OEF＝于是

由｜OD｜＝2及③式，得S_△OEF=

若△OEF面積不小于2

     　④

綜合②、④知，直線l的斜率的取值范圍為[-，-1]∪（-1，1）∪（1，].