Question

如圖，在以點O為圓心，|AB|=4為直徑的半圓ADB中，OD⊥AB，P是半圓弧上一點，∠POB=30°，曲線C是滿足||MA|-|MB||為定值的動點M的軌跡，且曲線C過點P．
（Ⅰ）建立適當的平面直角坐標系，求曲線C的方程；
（Ⅱ）設過點D的直線l與曲線C相交于不同的兩點E、F．若△OEF的面積不小于2

2

，求直線l斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以O為原點，AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標系，由題意得|MA|-|MB|=|PA|-|PB|=

(2+ 3 )2+12

-

(2- 3 )2+12

=2

2

＜|AB|=4．由此可知曲線C的方程；
（Ⅱ）依題意，可設直線l的方程為y=kx+2，代入雙曲線C的方程并整理，得（1-k²）x²-4kx-6=0．由此入手能夠求出直線l的斜率的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）解：以O為原點，AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標系，
則A（-2，0），B（2，0），D（0，2），P（

3

，1），依題意得
|MA|-|MB|=|PA|-|PB|
=

(2+ 3 )2+12

-

(2- 3 )2+12

=2

2

＜|AB|=4．
∴曲線C是以原點為中心，A、B為焦點的雙曲線．
設實半軸長為a，虛半軸長為b，半焦距為c，
則c=2，2a=2

2

，∴a²=2，b²=c²-a²=2．
∴曲線C的方程為

x2

2

-

y2

2

=1．
（Ⅱ）解：依題意，可設直線l的方程為y=kx+2，代入雙曲線C的方程并整理，
得（1-k²）x²-4kx-6=0．
∵直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，
∴

1-k2≠0 △=(-4k)2+4×6(1-k2)＞0

?

k≠±1 - 3 ＜k＜ 3

．
∴k∈(-

3

，

3

)且k≠±1．②
設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），則由①式得
|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

△

|1-k2|

=

2 2 3-k2

|1-k2|

．③
當E、F在同一支上時
S_△OEF=|S_△ODF-S_△ODE|=

1

2

|OD|•||x₁|-|x₂||=

1

2

|OD|•|x₁-x₂|；
當E、F在不同支上時
S_△OEF=S_△ODF+S_△ODE=

1

2

|OD|•（|x₁|+|x₂|）=

1

2

|OD|•|x₁-x₂|．
綜上得S_△OEF=

1

2

|OD|•|x1-x2|，于是由|OD|=2及③式，
得S_△OEF=

2 2 3-k2

|1-k2|

．
若△OEF面積不小于2

2

，即S△OEF≥2

2

，
則有

2 2 3-k2

|1-k2|

?k²≤2，解得-

2

≤k≤

2

．④
綜合②、④知，直線l的斜率的取值范圍為k∈[-

2

，

2

]且k≠±1

點評：本小題主要考查直線、圓和雙曲線等平面解析幾何的基礎知識，考查軌跡方程的求法、不等式的解法以及綜合解題能力