Question

如圖，在以點O為圓心，AB為直徑的半圓中，D為半圓弧的中點， P為半圓弧上一點，且AB＝4，∠POB＝30°，雙曲線C以A，B為焦點且經過點P.

（Ⅰ）建立適當的平面直角坐標系，求雙曲線C的方程；

（Ⅱ）設過點D的直線l與雙曲線C相交于不同兩點E、F，

若△OEF的面積不小于2，求直線l的斜率的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）雙曲線C的方程是.（Ⅱ）直線l的斜率的取值范圍是[－，－1)(－1，1)(1，].  ；

解析:

（Ⅰ）方法一：以O為原點，AB、OD所在直線分別

為x軸、y軸建立平面直角坐標系，則

點A(－2，0），B(2，0），P(，1).                                          

設雙曲線實半軸長為a，虛半軸長為b，半焦距為c，則

2a＝｜PA｜－｜PB｜＝，2c＝|AB|＝4.    

所以a＝，c＝2，從而b²＝c²－a²＝2.                                        

故雙曲線C的方程是.                                            

方法二：以O為原點，AB、OD所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系，則

點A(－2，0），B(2，0），P(，1).                                          

設雙曲線C的方程為＞0，b＞0），則.              

解得a²＝b²＝2，故雙曲線C的方程是                             

(Ⅱ)據題意可設直線l的方程為y＝kx+2，代入雙曲線C的方程得，，

即(1－k²)x²－4kx－6＝0.                                                         

因為直線l與雙曲線C相交于不同兩點E、F，則

  　即　                        

設點E(x₁，y₁），F(x₂，y₂)，則x₁＋x₂＝.                     

所以｜EF｜＝

又原點O到直線l的距離d＝.                                        

所以S_△DEF=      

因為S_△OEF，則

綜上分析，直線l的斜率的取值范圍是[－，－1)(－1，1)(1，].