Question

【題目】在三棱錐中，BO、AO、CO所在直線兩兩垂直，且AO=CO，∠BAO=60°，E是AC的中點，三棱錐的體積為

(1)求三棱錐的高；

(2)在線段AB上取一點D，當D在什么位置時，和的夾角大小為

Answer 1

【答案】（1）．（2）D在AB的中點時．

【解析】

（1）由題意的BO⊥平面ACO，即BO就是三棱錐B﹣ACO的高，然后根據體積建立等式關系，解之即可求出所求；

（2）以O為原點，OA為x軸，OC為y軸，OB為z軸，建立空間直角坐標系，設D（x，0，（1﹣x）），設和的夾角為θ，則coaθ建立等式關系，解之即可求出x的值，從而可判定點D的位置．

（1）由題意的BO⊥平面ACO，即BO就是三棱錐B﹣ACO的高，

在Rt△ABO中，設AO＝a，∠BAO＝60°，所以BOa，

CO＝a，所以VB﹣ACOAO×BO×COa3．

所以a＝1，所以三棱錐的高BO為．

（2）以O為原點，如圖建立空間直角坐標系，

設D（x，0，（1﹣x）），則C（0，1，0），E（，，0 ）

（﹣x，1，（ x﹣1）），（，，0），

設和的夾角為θ

則coaθ

，

解之得，x＝2（舍去）或x，

所以當D在AB的中點時，和的夾角大小為arccos．